راهنمای دانشجویان حسابداری ومدیریت

-ساختار زماني نرخ‌هاي بهره (Term structure of Interest Rates)

در اين بخش از مباحث به توضيح مفهوم ديگري مي‌پردازيم كه در موضوعات مربوط به سرمايه‌گذاري اهميت دارد. اين مفهوم ساختار زماني نرخ‌هاي بهره است. در صورتيكه بخواهيم در يك روز معين نرخ‌هاي بهره لحظه‌اي بدون ريسك دارائيهاي مختلف را كه سررسيدهاي گوناگون دارند در يك محور مختصات همانند شكل شماره يك منعكس كنيم در اين حالت به مجموعة اين نرخ‌هاي بهرة لحظه‌اي بدون ريسك، كه مجموعه‌اي از نقاط را بوجود مياورند، ساختار زماني نرخ‌هاي بهره گفته‌ مي‌شود. به عبارت ديگر ساختار زماني نرخ‌هاي بهره، مجموعة نقاط مربوط به نرخ‌هاي لحظه‌اي بدون ريسك در سررسيدهاي متفاوت هستند كه در يك روز معين مورد مشاهده قرار مي‌گيرند در شكل شماره يك در روز پانزدهم ژانويه 1993 براي اوراق دولتي در امريكا نقاط مربوط به نرخ‌هاي بهرة‌لحظه‌اي  بدون ريسك مشخص شده‌اند كه داراي شيب افزايش يابنده (upward sloping) هستند در حاليكه در شكل شماره دو و يازدههم در تاريخ 15 ژانويه 1993 همين نقاط براي اوراق قرضة دولتي در آلمان نشان داده‌شده‌اند كه يك شيب كاهش يابنده (downward sloping) را دارا هستند.

Yield to  Maturity        

Figure:1

u.s.term structure-yield on government bonds, January,15,1993

                              yield to maturity                                                                                                           

Years to Maturity         figure:2            

German term structure-yield on government bonds,January,15,1993   

گرچه براي رعايت دقت بايد بين ساختارهاي زماني افزايش يابنده، كاهش يابنده و يا ثابت و يكسان (flat) تفاوت قائل شويم ولي در عين حال بايد توجه داشته‌باشيم كه ساختارهاي زماني واقعي نرخ وافعي نرخ‌ بهره‌ها ممكن است اشكال گوناگون داشته‌باشند كه تنها دو نوع آنها را در دو شكل شماره يك و دو ملاحظه نموديم. تئوريها مختلفي در خصوص اينكه ساختار زماني نرخ‌هاي بهره چگونه انتظارات سرمايه‌گذاران، ترجيحات سرمايه‌گذاران و شرايط اقتصادي را منعكس مي‌كنند،‌وجود دارد. اين تئوريها در عين حال كه اهميت دارند، براي سرمايه‌گذاران موضوع مورد توجه اين است كه هر نقطه از ساختار زماني نرخ‌هاي بهره نشان دهندة ميزان بازدهي انواع جريانان پولي با توجه به سررسيد آنهاست. صرف‌نظر از اينكه نرخ‌هاي بهره در ارتباط با انواع جريانات پولي و با عنايت به سررسيد آنها چگونه تعيين مي‌شوند ويا شكل ميگيرند، مي‌توانيم نرخ‌هاي بهرة‌ مشاهده شده و متداول‌ در بازار براي تعيين ارزش فعلي جريانات پولي كه دارائيها سبب توليد آنها مي‌گردند، محاسبه نمائيم:

در بكارگيري فرمول اخير مي‌توانيم از انواع نرخ‌هاي بهره براي سررسيدهاي مختلف استفاده كنيم در اين فرمول مقدار جريانات پولي مشخص و معلوم هستند فرمول اخير طماني سادگي و راحتي پيدا مي‌كند كه نرخ‌هاي بهره براي سررسيدهاي متفاوت ثابت و يا يكسان باشند اين در صورتي است كه ساختار زيماني نرخ‌هاي بهره، يكسان (flat) تصور شود. اگر مطابق شكل شماره سه ساختار زماني نرخهاي بهره‌ داراي افزايش و كاهش‌هاي جزئي باشد در اينصورت معادل‌گيري و ثابت فرض نمودن ساختار زماني نرخهاي بهره شكل قابل ذكري بوجود نمي‌آورد ولي اگر ساختار زماني نرخهاي بهره داراي نرخ رشد تند و يا داراي نرخ كاهش ند باشد، متوسط ‌گيري وتقريب آن به يك مقدار ثابت از نرخ‌ بهره، نتايج قابل قبولي ببار نمي‌آورد. با اين حال اكثر اوقات فرض نمودن ساختار زماني نرخ‌هاي بهره نتايج مناسبي بدست مي‌دهد كه براي سرمايه‌گذاران هم قابل قبول است. علاوه بر اين ساختارهاي زماني مشاهده شده براي نرخ‌هاي بهره اغلب از افت و خيزهاي تند و غيرقابل پيش‌بيني برخوردار نيستند.

Term structure  of interest rates-why a flat term structure may be an appropriate

                                                 .approximation          

فرمولهاي مورد استفاده در صفحات گسترده نيز (Spreadsheet) عموماً ساختار زماني را ثابت فرض مي‌كنند در صورتيكه بخواهيم نرخ‌هاي بهر‌ة مربوط به ساختارهاي زماني غيرثابت را مورد استفاده قرار دهيم بايد براي هر جريان پولي بر اساس فرمول  فاكتور تنزيل مناسب محاسبه نمائيم و بر اساس فاكتور تنزيل بدست آمده، ارزش فعلي هر جريان پولي را پيدا نمائيم. اگر با تعداد زيادي از جريانات پولي مثبت و منفي در خصوص يك جريان مالي مربوط به يك دارائي روبرو باشيم بايد جمع‌ جبري ارزشهاي فعلي بدست آمده را، كه با استفاده از نرخ‌هاي تنزيل مختلف بدست آمده‌اند، محاسبه كنيم:

براي استفاده از فرمول اخير بايد r براي كلية دوره‌ها يكسان و بدون تغيير باشد در حاليكه در فرمول پيشين r_t براي دورة موردنظر بايد جداگانه معلوم شود. بنابراين در فرمول پيشين ساختار زماني ثابت فرض نمي‌شود ولي در فرمول اخير ساختار زماني يكسان و بدون تغيير است.

-         فرمولهاي ساده (Simple formulas)

در بعضي موقعيت‌هاي ارزشيابي با يك دسته جريانات مالي مداوم و ثابت روبرو مي‌شويم كه براي مدت N سال ادامه پيدا مي‌كنند. معمولاً در اين شرايط اولين جريان مالي در پايان سال اول شروع مي‌شود. چنين جريان مالي مداوم و سالانة ثابت را جريان مالي مداوم و ثابت سالانه

(annuity) مي‌ناميم، همانند وامهاي رهني كه در پايان هر دورة معين يك مقدار ثابت پول پرداخت مي‌گرددو يا پرداختهاي ثابت مربوط به وام اتوموبيل و يا پرداخت اجاره ثابت در پايان هر دوره معين كه در اين موارد هم زمان پرداخت معين و مشخص است و هم مبلغي كه پرداخت مي‌گردد با مقادير پولي قبلي و بعدي برابر است .

در مباحث ارزشيابي و سرمايه‌گذاري مبناي دوره معمولاً سال است اما در صورت نياز مي‌توان را ماهانه ويا فصلي قرار دارد. از آنجا كه مقادير جريان پولي در پايان هر دورة معين تغيير نمي‌كند، مي‌توانيم ارز فعلي اين جريانان پولي را با فرض ثابت بودن ساختار زماني نرخهاي بهره و از طريق جمع كردن ارزشهاي فعلي مربوط به هر دوره، بدست آوريم:

براي استفاده از فرمول اخير بايد ارزش فعلي هر دلاري را كه در هر سال پرداخت يا دريافت مي‌شود، بانيم . براي اين منظور بايد1  = t=1,2,…,N  ,  CF_t  باشد. در اين حالت ارزش فعلي هر واحد دلار در هر زمان معين خواهد شد و از طريق ضرب نمودن ارزش فعلي هر واحد دلار در زمان معين در مقداري دلاري كه جريان پيدا كرده، كل ارش فعلي جريان پولي معلوم خواهد شد. اصطلاحاً به يك دلار جريان پولي در هر سال، جريان پولي سالانه استاندارد
 annulty) Standard) گفته مي‌شود و ارزش فعلي اين جريان پولي سالانه استاندارد (present value of a standard) با عبارت PVA نمايش داده مي‌شود. عباراتي كه ارزش فعلي جريان پولي استاندارد را نشان مي‌دهند يك سري تصاعد هندسي را تشكيل مي‌دهند كه اولين جملة‌آن يعني (α₁ در تصاعد هندسي ) برابر با  است . اين عبارت ارزش فعلي يك دلار را در پايان سال اول معلوم ميدارد و جملة دوم اين تصاعد هندسي  است كه ارزش فعلي يك دلار را در پايان سال دوم مشخص ميكند و عبارت  N ام اين تصاعد هندسي  است . قدرنسبت تصاعد هندسي در سري :

از راه تقسيم يك عبارت بر عبارت پيشين آن بدست ميايد مثل :

در اينصورت پس از عمليات ساده‌سازي ارزش فعلي جريان پولي استاندارد بعني PVA، كه N دوره يا N سال ادامه دارد، با فرض ثابت بودن نرخ بهره بصورت زير خواهد بود :

مي‌توانيم نحوة پيدايش فرمول اخير را از طريق محاسبة مجموع كليه جملات تصاعد هندسي مورد اشاده بدست آوريم:

در تصاعد هندسي اخير  و است . مجموع N جمله تصاعد هندسي بدينشكل بدست ميايد:

فرمول شماره يك همان فرمول قبلي PVA است .

فرمول شماره يك ارزش فعلي جريان پولي استاندارد را در N دوره و با نرخ بهرة ثابت r درصد نشان ميدهد از طريق همين فرمول شماره يك مي‌توانيم به استنباط جديد برسيم ولي قبل از رسيدن به استنباط جديد نحوة بكارگيري آنرا با يك مثال روشن نمائيم.

مثال 1: اگر نرخ بهره را در پنج سال آينده ثابت و براي هر سال 8 درصد فرض كنيم در اينصورت ارزش فعلي يك دلار را محاسبه كنيد.

حال اگر بخواهيم ارزش فعلي يك قرارداد پنج ساله را كه هر سال مبلغي با حجم 24000 دلار درآمد‌زايي دارد، معلوم نمائيم كافي است 24000 دلار را در  و يا در عدد 3.9927 ضرب كنيم :

 $95825*

حال به استنباط جديد از فرمول پيش گفته مي‌پردازيم. يك جريان پولي استاندارد را در نظر مي‌گيريم كه بصورت دائمي ادامه دارد. در اين حالت مي‌خواهيم ارزش فعلي دلارهاي واحد را كه در تعداد بي نهايت سالهاي آينده بدست خواهد آمد، محاسبه كنيم اين نوع جريان مالي را كه پيوسته است جريان مالي دائمي و سالانه (Perpetuity) مي‌ناميم . در اينصورت مي‌توان گفت كه قرار است ارزش فعلي جريان مالي پيوسته استاندارد سالانه (present value of a standard perpetuity) و يا PVP را پيدا كنيم. تحت اين شرايط N به بي‌نهايت ميل مي‌كند:

2                                           

فرمول شماره دو مقابل ارزش فعلي جريان مالي استاندارد را كه نرخ بهرة ثابت r در محيط حاكم است، نسان ميدهد. رابطه اخير حالت ويژه‌اي راز فرمول كلي گوردون (The Gordon formula) محسوب مي‌شود كه بدان خواهيم پرداخت. فرمول گوردون موارد استفاده متفاوتي دارد با اين فرمول اغلب مي‌توانيم ارزش فعلي يك‌سري جريانات مالي رشد يابنده را تحت شرايط بهره ثابت بدست آوريم .براي مثال فرض كنيد p ارزش بازار يك سهم است كه با ارزش فعلي كليه سهم سودهاي آتي آن برابري مي‌كند در حاليكه پرداخت سهم سود پيوسته ادامه دارد. در اينصورت p بشكل زير حاصل خواهد شد:

D_t مقدار سهم سود را در زمان t نشان ميدهد و r مبين نرخ تنزيل است . اگر فرض كنيك كه سود پرداختي (dividend) در هر دوره نسبت به دورة‌پيشين با مقدار ثابت g، (growth) افزايش پيدا مي‌كند و سهم سود پرداختي در حال حاضر D₀ است در اين شرايط سهم سود پرداختي بعد از يكسال برابر است با :

و سهم سود پرداختي در پايان سال دوم برابر است با :

و بطور كلي سهم سود پرداختي در پايان سال t ام برابر خواهد بود با  مقدار D_t را در فرمول قبلي مورد استفاده قرار مي‌دهيم :

سمت راست رابطة اخير يك تصاعد هندسي است كه حاصل آن برابر است با:

واضح است كه تحت شرايط فرمول گوردون D₁ برحسب g,D₀ قابل محاسبه است يعني :

 در نتيجه عبارت  فرمول گوردون (Gordon formula)  نام دارد .

مثال 2: ميخواهيم يك سهم را ارزشيابي نمائيم. شركتي كه ورقة سهم به آن تعلق دارد طبق برآوردهاي موجود تا سه سال از رونق اقتصادي برخوردار خواهد بود و در پايان هر سال مبلغ 4 دلار براي هر سهم پرداخت خواهد كرد. انتطار ميرود كه رونق اقتصادي شركتها تا سالهاي متمادي ادامه پيدا كند و سهم سودهاي پرداختي در هر سال نسبت به سال قبل 5 درصد افزايش پيدا كند. نرخ بدون ريسك در شرايط حاضر 10 درصد است. با استفاده از فرمول گوردون مي‌توان ارزش ورقة سهم را در پايان سال سوم مشخص كرد:

نرخ تنزيل بدون ريسك (risk-adJusted discount rate=RADR)

يكي ديگر از كاربردهاي فرمول گوردون، پيدا نمودن ريسك تنزيل بدون ريسك در ارتباط با قيمت يك سهم است كه قرار است ارزشيابي آن صورت پذيرد:

فرمول اخير نرخ تنزيل مناسبي را براي تنزيل درآمدهاي آتي سهامداران بدست ميدهد كه موضوع افزايش سالانة سهم سودها را نيز مورد توجه قرار داده و في‌الواقع هزينة سهم بدون ريسك ( يعني همان r) را معلوم مي‌سازد . حال مي‌توان نشان داد كه اين حالت فرمول گوردون چگونه در سرمايه‌گذاري و ارزشيابي قابل استفاده است .

مثال 3: هر سهم شكرت GP در بازار 53 دلار ارزش دارد . شركت GP براي هر سهم مبلغ 8 دلار سهم سود مي‌پردازد . انتظار ميرود سهم سود پرداختي سالانه  6 درصد افزايش پيدا كند. هزينة سهم (Cost of equity) شركت GP با توجه به قيمت موجود بازار و نرخ افزايش تخميني در سهم سودهاي سالانه چقدر است؟

در نتيجه هزينه سهم شركت GP برابر 22 درصد است . خوب است به اين نكته اشاره كنيم كه در فرمول گوردون ساختار زماني بهره براي كلية سررسيدها ثابت است و افزايش در سهم سودها با نرخ معيني پيوسته ادامه دارد. فرمول گوردون در كاربردها براي سرمايه‌گذاران و آناليزكنندگان راحتي ايجاد مي‌كند و تصميم‌گيري را سرعت مي‌بخشد.

- تعديلات مربوط به ريسك (Risk adJustments)

در ارزيابي مربوط به سرمايه‌گذاريهاي گوناگون كه داراي ريسك و يا نامعلومي (uncertainty) هستند به صورتهاي مختلف مي‌توان اقدام نمود كه روش متداول را در اينجا توضيح ميدهيم. ولي پيش از اين توضيح بهتر است به اين موضوع اشاره كنيم كه از نظر علمي بين ريسك (Risk) و نامعلومي (uncertainty) تفاوت وجود دارد. ريسك زماني مورد بحث قرار مي‌گيرد كه احتمالات مربوط به هر جزيان مالي معلوم باشند ولي اگر احتمالات مربوط به هر جريان مالي نامعلوم نباشند در اينصورت با نامعلومي (uncertainty) روبرو هستيم.  در بخشهاي فعلي فرقي بين اين دو مفهوم قائل نمي‌شويم و اين دو مفهوم مي‌توانند جاي يكديگر را بگيرند مگرآنكه صراحتاً به تفاوت آنها اشاره شود.

يكي از روشهاي ارزيابي در خصوص جريانات مالي ريسك‌دار، استفاده از نرخ تنزيل بدون ريسك يا استفاده از نرخ تنزيلي است كه در مقابل ريسك تعديل‌شده (Risk-adJusted discount rate) است. در اين روش جريانات پولي مورد انتظار با نرخ تنزيل بدون ريسك و يا تعديل شده در مقابل ريسك به ارزش روز تبدل ميشوند. براي اين منظور از رابطة  استفاده مي‌كنيم. در رابطة اخير E(CF_t) ارزش مورد انتظار جريان مالي را در دوره t نشان ميدهد در حاليكه  پاداش ريسك است كه با ريسك جريان مالي CF_t  سازگاري دارد. پاداش ريسك از تفاوت بين نرخ درآمد‌زائي مورد انتظار يك دارايي معين و نرخ بهرة‌بدون ريسك حاصل ميشود:

مجموع  كه در مخرج رابطة  ديده ميشوند نرخ تنزيل بدون ريسك را تشكيل ميدهند كه مورد انتظار سرمايه‌گذارهستند يعني :

                    risk-adJusted discount rate (RADR)= r_t+

مثال 4: انتظار داريم يك دارايي در ظرف مدت دو سال به احتمال 25 درصد درآمدي معادل 1000 دلار و به احتمال 75 درصد درآمدي معادل 2000 دلار داشته‌باشد. نرخ لحظه‌اي دو ساله براي هر سال 3 درصد است و تصور ميرود پاداش دريسك براي اين جريان مالي 5 درصد در سال باشد. ارزش فعلي اين دارايي چقدر است؟‌

از آنجاكه ارزش فعلي مورد انتظار دارايي 1500 دلار است، ارزش آنرا بايد 1500 دلار اعلام نمائيم

پاداش ريسك (Risk premium)

پاداش ريسك از موضوعات مورد توجه بسياري از سرمايه‌گذاران است. اين مفهوم در مدل قيمت‌گذاري دارايي سرمايه‌اي يعني (Capital Asset pricing Model)CAPM توسط Mossin,Lintner,sharpe  تشريح شده‌ است . در مدل CAPM پاداش ريسك مناسب براي موقعيت‌هاي مختلف مشخص مي‌گردد. مدل CAPM بخشي از تئوري مدرن پورتفوليوست كه پورتفوليوهاي متنوع شده را براي سرمايه‌گذاران معرفي مي‌كند. اين سرمايه‌گذاران علاقمندند مقدار ريسك در هر واحد از درآمدهاي مورد انتظارشان به حداقل برسد.

در مدل CAPM فرض برآنست كه هر سرمايه‌گذاري داراي يك پوتفوليوي بازار(Market portfolio) استو پورتفوليوي بازار در دورن خود كليه دارائيهاي موجود در اقتصاد ( و يا كلية اوراق بهادار) را جا داده‌است. شركت اين دارئيها در پورتفوليوي بازار به نسبت ارزش آنها در اقتصاد مي‌باشد.

بر اساس مدل CAPM در صورتيكه سرمايه‌گذاران، پورتفوليوي خود را از طريق سرمايه‌گذاري بر انواع اوراق بهادار متنوع كنند، ريسك هر كدام از دارائيهاي موجود ( يا اوراق بهادار) در درون پورتفوليو نسبت به ريسك پورتفوليوي متنوع شده سنجيده خواهد شد . مي‌توان معلوم نمود كه اشتراك يكي داريي معين در ريسك پورتفوليو با كوواريانس درآمدي اين دارايي معين با درآمدهاي پورتفوليوي موردنظر متناسب است. مدل CAPM يك پاداش ريسك را معرفي ميكند. كه با اين كوواريانس متناسب است.

مدل CAPM پورتفوليوي مرجع (refrence) را پورتفوليوي بازار ميداند بدليل آنكه سرمايه‌گذاران داراي پورتفوليوهاي متنوع شده هستند كه تا حد زيادي هم با يكديگر ارتباط دارند، مي‌توانيم مدل CAPM را به عنوان يك تقريب خوب براي پاداش ريسك تعادل شده در مقابل ريسك (Risk –adJusted premium) و براي انواع سرمايه‌گذاران با انواع پورتفوليوهاي متنوع شده ، بكارگيريم. بر اساس مدل CAPM پاداش ريسكي كه هر دارايي موجود طلب مي‌كند با كوواريانس درآمدهاي دارايي موجود درآمدهاي پورتفوليوهي بازار متناسب است:

 پاداش ريسك دارايي i را نشان ميدهد و  r_i درصد درآمدزايي دارايي i را معلوم ميدارد و r_m  درصد درآمدزايي پورتفوليوي بازار را مشخص مي‌نمايد. علامت به معني متناسب است با  (proportional to)  مي‌باشد. در نتيجه مي‌توانيم فرمول CAPM را براي پاداش ريسك بصورت زير بنويسيم:

در فرمول اخير K قيمت ريسك را در هر و احد از كوواريانس معلوم مي‌كند. از آنجا كه رابطة اخير براي كليه دارئيها قابل تعميم است براي پورتفوليوي بازار هم قابل تسري است:

بدليل آنكه كوواريانس يك متغير تصادفي با خودش همان واريانس متغير تصادفي است به جاي (r_m,r_m) cov مقدار واريانس متغير تصادفي يعنيvar(r_m) قرا ميگيرد. اگر در فرمول CAPM يعني در   مقدار تعيين شدة k را قرار دهيم، شرايط جديد پيدا خواهد شد:

بدليل آنكه كوواريانس يك متغير تصادفي با خودش همان واريانس متغير تصادفي است به جاي

cov(r_m,r_m) مقدار واريانس متغير تصادفي يعني var(r_m) قرار ميگيرد. اگر در فرمول CAPM يعني در  مقدار تعيين شدة k را قرار دهيم، شرايط جديد پيدا خواهد شد:

زمانيكه واريانس درآمد داراييi با درآمد پورتفوليوي بازار  (r_m) به واريانس درآمد پورتفوليوي بازار تقسيم مي‌شود به حاصل اين تقسيم  (beta) مي‌گوئيم. اين  مبين تبادل دارايي موردنظر يا همان تباي دارايي i است :

با استفاده از  مي‌توانيم رابطة CAPM را بصورت ديگري هم نمايش دهيم:

آن بخش از ريسك يك دارايي كه با متنوع‌سازي قابل كاهش نيست ريسك سيستماتيك (systematic Risk) نام دارد و براي همين ريسك است كه سرمايه‌گذاران پداش ريسك طلب مي‌كنند. براي بخشي از ريسك يك دارايي كه با متنوع‌سازي از بين مي‌رود، پاداش ريسك طلب نميشود زيرا با پديدآوردن تركيب صحيحي از دارئيهاي مشمول پورتفولي، ريسك مورد بحث از بين ميرود يعني براي آن راه چاره وجود دارد. البته اين بدان معني نيست كه ريسك تنوع‌بردار، يعني ريسكي كه با متنوع‌سازي اقلام پوتفوليو حذف مي‌گردد، اثري بر روي ارزش دارايي ندارد بلكه ريسك تنوع‌بردار مي‌تواند بر رويجريانات مالي موردانتظار يك دارايي اثرگذار باشد.

-         تئوري قيمت‌گذاري آربيتراژ(Arbitrage pricing Theory=APT)

در سالهاي اخير تئوري قيمت‌گذاري آربيتراژ در خصوص نحوة تعيين پاداش ريسك مناسب دارئيهاي مختلف مورد استفاده قرار گرفته‌است . تئوري APT اين مسآله را توضيح ميدهد كه وقتي فاكتورهاي گوناگون ريسك سبب پيدايش درآمد براي يك دارايي ميشوند چه وضعيتي پيش ميايد. تئوري APT گرچه داراي ويژگيها و وجوه جالب توجه است ولي استفاده از آن به منظور تعيين پاداش ريسك داراي مشكالت متفاوتي است و لذا در عمل كمتر از ارين تئوري بهره‌برداري ميشود. در بحث‌هاي آينده به تئوري قيمت‌گذاري، آربيتراژ و تئوري CAPM خواهيم پرداخت و روابط موجود در اين دو تئوري را مورد بحث و بررسي قرار داده و نتايج مربوط به پاداش ريسك را از آنها استنباط خواهيم نمود.